Новый признак конгруэнтности (равенства) треугольников

Пусть угол треугольника равен α, противолежащая данному углу сторона равна z и площадь треугольника равна S. Тогда из формулы нахождения площади треугольника и по теореме косинусов получаем соотношение (1), где x и y — длины двух других сторон треугольника. Выразив из (1) сумму квадратов x и y и прибавив к обеим частям равенства удвоенное произведение x и y, получим равенство (2). Введём обозначения (3) и решим систему уравнений (4). Для нахождения x, удовлетворяющих системе, составим квадратное уравнение (5). Очевидно, что, так как α, z и S взяты у существующего треугольника, уравнение (5) имеет хотя бы один положительный корень. Пусть этот корень единственный. Обозначим его x0. Тогда (x0;y0), где y0=b/x0, — единственное решение системы (4). Но из структуры уравнений системы следует, что (y0;x0) — также решение системы. Следовательно, x0=y0, то есть треугольник равнобедренный и α — угол при вершине. Очевидно, верно и обратное: из равенства x и y следует единственность решения системы. Пусть теперь x не равен y. Тогда (5) имеет два различных положительных корня x1 и x2. В таком случае система (4) имеет два решения: (x1;y1), (x2;y2), где y1=b/x1, y2=b/x2. Но (y1;x1) также является решением, а значит, поскольку x1 не совпадает с y1, получаем равенство (x2;y2)=(y1;x1). Таким образом, эти два решения состоят из одной пары чисел, то есть, какое бы решение мы ни рассмотрели, множество длин сторон треугольника будет одно и то же.
Вывод: пусть угол, противолежащая данному углу сторона и площадь одного треугольника соответственно равны углу, противолежащей данному углу стороне и площади другого треугольника. Тогда система уравнений (4) и, следовательно, уравнение (5) для этих двух треугольников будут совпадать (так как a и b зависят только от α, z и S). По установленному выше, для любого треугольника решением системы (4) является единственная пара (без учёта порядка) чисел. Отсюда следует, что два данных треугольника конгруэнтны (равны) по третьему признаку.